ELI5:导数,偏导数

导数

导数就是描述某个事物的变化速率
举个最常见的例子,当人从某地移动到另一地点的时候,速度就是这个移动的导数,因为它描述了移动的变化速率;再继续看,加速度就是速度的导数,因为加速度描述了速度的变化速率。当加速度恒定的时候,我们可以想到,速度就是一条斜线,再进一步就能想到移动的距离是一个抛物线。


距离曲线


速度曲线

在数学中,先举一个简单的例子,比如 $$ y = 3x + 5 $$ 这个函数,它的导数是 $$ y\prime = 3 $$(具体求导的方法不描述了),它描述了当x变化的时候,y的变化是3,可以试验一下,当x=1的时候,y=8,当x=2的时候,y=11,刚好增加了3。
稍微复杂一点的情况比如 $$ y = x ^ 2 $$ 的导数是 $$ y\prime = 2x $$,这个时候导数不再是常数,比之前的情况要稍微复杂一点,需要进行一定的理解:

x $$ y = x ^ 2 $$ $$ y\prime = 2x $$
1 1 2
2 4 4
3 9 6

可以看到并不是之前那样的直接相关了,这是因为此时的导数应该是个变化过程(也就是$$\Delta X$$,x=2时导数的值,是指在x=2这个点上的变化速率,不是指变化到2过程中的变化速率),所以当x变化为2时,是x从1到2的过程,导数应该是求值应该是1到2的过程值(因为是这时的函数是线性的,所以粗暴的认为是均值)$$ (2 + 4)/2 = 3 $$,所以变化速率是3,同理可知2->3的变化速率是5。

偏导数

既然知道了导数的概念,那么偏导数是用来做什么的呢?
继续最开始跑步的例子,当时我们假设了一个完美的场景,那就是在没有任何其他因素的影响下。但是现实中是不可能出现这样的情况的,你的移动需要根据当时风速,穿的鞋子带来的阻力,你当时的体力等等,也许这是一个类似这样的函数 $$ F = f(x,y,z,u,v)= x^2 + 5y + 4z^3 + 2uv $$,但我们仅仅想研究跑步速度带来的影响,所以我们假设其他的变量都是常数,也就是他们是恒定的或者是一些我们已知的数据,此时再来求导时导数就变为了$$ F_x^\prime = 2x $$,这就称为 $$F$$ 在 $$(y,z,u,y)$$ 处时关于 $$x$$ 的偏导数

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